تئوری خرپا |کدافزار

ماتریس سفتی مربوط به المان خرپا به صورت زیر است.

در این ماتریس A مساحت مقطع عضو، E مدول الاستیسیته عضو،

L طول عضو، C و S کسینوس و سینوس زاویه راستای عضو با افق است.

همانند المان فنر، در المان خرپا هم باید سفتی همه‏ ی اعضا محاسبه و سپس در ماتریس سفتی کل اسمبل شود.

سپس ماتریس نیرو و جابجایی با استفاده از شرایط مرزی ایجاد شود و مسئله حل گردد.

در ادامه یک مثال ساده از نحوه بدست آوردن ماتریس سفتی یک المان خرپا حل میکنیم.

مثال: ماتریس سفتی المان زیر با مدول الاستیسیته psi30000000، طول 60 اینچ و مساحت مقطع 2 اینچ مربع را به دست آورید.

حل:

محاسبه تنش در یک میله: تنش ایجاد شده در المان خرپا با رابطه زیر به دست میاید.

به طبع برای محاسبه‏ ی نیروی ایجاد شده در المان میتوانیم رابطه ‏ی بالا را در مساحت ضرب کنیم.

همچنین برای به دست اوردن کرنش، می‏توانیم رابطه بالا را بر مدول الاستیسیته تقسیم کنیم.

حل خرپای دوبعدی: خرپای زیر با مدول الاستیسیته psi 30000000و مساحت مقطع 2 اینچ مربع را در نظر بگیرید و جابجایی گره‏ ها را به دست آورید.

پاسخ: ابتدا ماتریس سفتی المان‏ها و سپس سفتی کل را به دست میاوریم:

حال که ماتریس کل ساخته شد، بایستی شرایط مرزی تکیه ‏گاهی و نیرویی را وارد کنیم.

حال نوبت به حذف سطر و ستون صفر میرسد:

با حذف سطر و ستون صفر، معادله ماتریسی زیر تشکیل میشود:

با حل این معادله، مقادیر مجهول جابجایی به دست میاید.

برای یافتن تنش‏ های اعضا نیز از رابطه ی زیر که قبلا گفته شد استفاده می‏کنیم.

تمرین: ماتریس سفتی خرپای زیر را بیابید.

مثال: خرپای زیر با مدول یانگ و مقطع داده شده را فرض کنید. گره 1 دارای یک جابجایی عمودی است. جابجایی افقی گره 1 را به دست آورید .

حل: طبق معمول با بدست آوردن ماتریس سفتی اعضا و ماتریس سفتی کل شروع می‏کنیم:

حل:

 حال ماتریس سفتی کل را اسمبل می‏کنیم و معادله‏ی زیر را تشکیل می‏دهیم.

شرایط مرزی عبارتند از:

حل: با جایگذاری شرایط مرزی معادله زیر به دست میاید.

از آنجا که تنها مجهول سمت راست معادله مقدار v1 است:

تکیه ‏گاه زاویه دار: تابحال مقادیر جابجایی که به دست می اوردیم در جهت افقی و عمودی یعنی در دستگاه مختصات عادی بودند. در مسائلی که دارای تکیه ‏گاه کج و شیبدار هستند باید ماتریس سفتی را در یک ماتریس دوران هم ضرب کنیم تا جابجایی آن گره را در راستای مربوطه به ما بدهد. برای مثال در خرپای زیر گره 3 دارای حرکتی زاویه دار است.

ماتریس دوران به صورت مقابل است که ماتریس t3 جهت دوران جابجایی گره 3 میباشد

و به شکل زیر ایجاد میشود.

پس از تشکیل ماتریس دوران، آن را به صورت زیر در ماتریس سفتی کل ضرب کرده و معادله ماتریس زیر را تشکیل میدهیم

مثال: جابجایی گره 2 و 3 را در خرپای زیر به دست اورید

حل:......

جهت دریافت کامل این مطلب فایل پیوست را دانلود بفرمایید .