تئوری روش المان محدود|کدافزار

معرفی نماد ماتریسی: در روش اجزای محدود به منظور ساده‏ تر نمودن و فرمول‏ بندی معادلات المان‏ های سفتی، روش ‏های ماتریسی ابزار موردنیازی است که از آن‏ها به منظور حل مسائل مختلف و مهمتر از آن، در روش‏های برنامه‏ نویسی استفاده می‏ شود. برای مثال دو ماتریس ستونی را در زیر مشاهده می ‏کنید.

زیرنویس ‏های کوچکی که در سمت راست F و d قرار دارند به ترتیب دلالت بر شماره‏ ی گره و جهت نیرو یا جابجایی می نمایند. به طور مثال F1x معرف نیرو در گره 1 است که در جهت x اعمال می‏ شود.

در روش المان محدود برای هر المان یک ماتریس سفتی به دست می‏آید که به طور کلی به صورت زیر است:

اساس کار روش المان محدود همین ماتریس ها هستند که به دست می ایند و در پایان با حل معادله ‏ی F=Kd جابجایی‏ گره‏ ها به دست می ایند.

مراحل کلی در روش المان محدود

1- تقسیم ‏بندی و انتخاب نوع المان: شامل تقسیم ‏بندی جسم به سیستم معادلی از المان‏های محدود با گره‏ های به هم پیوسته و نیز انتخاب مناسب‏ترین نوع المانی است که تا حد امکان منطبق با رفتار فیزیکی واقعی باشد. تعداد کل المان ‏های به کار رفته و نیز تغییرات در اندازه و نوع آن‏ها در یک جسم از نکات اصلی در مهندسی محسوب می‏شود. المان‏ها باید به اندازه ‏ای کوچک باشند تا جواب قابل استفاده و از طرف دیگر آنقدر بزرگ در نظر گرفته شوند که حجم محاسبات کاهش یابد.

عموما در مواقعی که آهنگ تغییرات نتایج بالاست، از جمله هنگام بروز تغییرات در هندسه‏ ی جسم، المان‏های کوچکتر مطلوب‏تر بوده در حالی که در مواقعی که نتایج ثابت است میتوان از از المان‏ های بزرگ استفاده نمود که حد بهینه ‏ی آن به روش همگرایی به دست می اید.

ساده‏ ترین نوع المان، المان خطی نامیده می‏شود که دارای دوگره است. یک گره در ابتدا و یکی در انتها.

المان ‏های ساده ‏ی دو بعدی(سطحی) توسط نیروهایی در سطح خود( حالت تنش یا کرنش سطحی) بارگذاری می‏ شوند. این المان ‏ها سه یا چهارضلعی هستند که البته میتوان با قرار دادن گره‏ هایی در وسط اضلاع آن‏ها، شکل پیشرفته تری از این المان‏ ها را ایجاد کرد.

عمومی ترین شکل المان سه بعدی، المان‏های سه وجهی یا شش وجهی هستند.

- انتخاب تابع جابجایی: تابع درون المان با استفاده از مقادیر گره ‏ای تعریف می‏شود. عموما در روش اجزای محدود، از چندجمله ‏ای های خطی، درجه 2 و 3 استفاده میشود.

3- تعریف روابط کرنش-جابجایی و تنش-کرنش: به منظور استخراج روابط مورد نیاز در هر المان، به روابط تنش-کرنش و کرنش-جابجایی نیاز است. مثلا در جابجایی یک بعدی، روابط زیر برای کرنش کوچک برقرار است:

4- استخراج ماتریس سفتی

5- برهم‏ گذاری معادلات المان‏ ها به منظور دستیابی به معادلات کلی و معرفی شرایط مرزی: در این مرحله، معادلات تعادل گره ‏ای هریک از المان ‏هایی که در مرحله‏ ی قبل استخراج شد برهم گذاری می ‏شوند. درواقع در این مرحله ماتریس سفتی کل سازه ایجاد و شرایط مرزی از نوع نیرو و جابجایی درون ماتریس مربوطه نهاده می شوند.

6- محاسبه ‏ی تنش و کرنش ‏های المان

تعریف ماتریس سفتی: در یک المان، ماتریس سختی k ماتریسی است که به ازای آن f=kd باشد.

در یک سازه که از تعدادی المان تشکیل شده است، ماتریس سفتی، جابجایی d گره هارا در محور مختصات اصلی به نیروهای اصلی F در سازه مرتبط میسازد.

برای شروع و فهم بهتر موضوع، ماتریس سفتی فنر را استخراج میکنیم.

معرفی روش سفتی

استخراج ماتریس سفتی المان فنر

1- فنری خطی به قسمی در نظر میگیریم که گره‏ های آن تحت تاثیر نیروی کششی T در راستای فنر و درحال تعادل باشد. طول اولیه ین دو گره برابر L است و ثابت فنر هم k میباشد .

2- انتخاب تابع جابجایی: از آنجا که المان فنری، بار اعمال شده را فقط از طریق درجه ‏های آزادی محلی که به میزان u1 و u2 جابجا میشوند تحمل مینماید، لذا تابع جابجایی u به قسمی تعیین میشود که معرف جابجایی در راستای المان باشد. این تابع به صورت زیر ر نظر گرفته میشود. به طور کلی تعداد ضرایب a با تعداد درجات آزادی برابر است.

حال میخواهیم تابع u را به صورت تابعی از تغییر مکان‏ های گره‏ای u1 و u2 تشریح کنیم. برای این کار:

توابع N توابع شکل نامیده میشوند زیرا معرف شکل تابع جابجایی میباشند و از خصوصیات آن ها اینست که مقدار آنها در گره ‏ی مربوط به خود برابر 1 و در گره های دیگر برابر صفر است.

3- تعریف روابط کرنش-جابجایی و تنش-کرنش: نیروی کششی T باعث افزایش طول فنر میشود که در شکل زیر نشان داده شده است. در اینجا به دلیل آنکه جهت جابجایی u1 خلاف جهت x است، اندازه ‏ی آن منفی است.

تغییر طول فنر از رابطه‎‏ی مقابل به دست میاید.

4- استخراج ماتریس سفتی: با توجه به علامت قراردادی برای نیروهای گره ‏ای و تعادل داریم:

با جایگذاری در رابطه قبل داریم:

با تبدیل رابطه بالا به فرم ماتریسی، رابطه زیر حاصل میشود:

5- به هم گذاری ماتریس سفتی و نیرو برای تشکیل معادله کلی به فرم F=Kd

6- به دست آوردن جابجایی گره ها و نیروی المان ها با حل رابطه کلی

در ادامه به حل یک مثال ساده از المان فنر میپردازیم......

برای دریافت کامل مطلب فایل پیوست را دانلود نمایید.